Geometria Espacial

Prismas

Chamamos de prisma ou prisma limitado o conjunto de todos os segmentos congruentes paralelos a uma reta r.

Os planos a e b são paralelos e a altura do prisma é dada pela distância entre os planos a e b. 

Considere o prisma:

• Área lateral (Al): É a soma das áreas das faces laterais.

• Área da base: É a área Ab da base do prisma.

• Área total: É a área At de todas as faces do prisma.

At = Al + 2 . Ab

Volume: O volume V de um prisma é dado pelo produto da área da base Ab pela altura h.

V = Ab . h

Paralelepípedo retângulo ou ortoedro

É um paralelepípedo reto cujas faces são retângulos.

Cubo

Quando as três dimensões são iguais, ou seja, o paralelepípedo é denominado cubo.

Pirâmide 

Classificação

 Uma pirâmide é dita regular quando sua base é um polígono regular e a projeção ortogonal do

vértice coincide com o centro da base. As pirâmides são classificadas de acordo com o número de lados dos polígonos da base:

h = Altura da pirâmide

L = Aresta lateral

l = Aresta da base

a = Apótema da base

A = Apótema da pirâmide

Nomenclaturas

  Numa pirâmide regular, convém destacar: O polígono da base é regular, de lado l, e, portanto, inscritível numa circunferência de raio OA = R, chamado raio da base. O apótema do polígono regular da base é chamado apótema da base e sua medida será indicada por m. As arestas laterais são congruentes e sua medida será indicada por a. As faces laterais são triângulos isósceles congruentes. A altura de uma face lateral (é a altura relativa à base de um triângulo isósceles) é chamada apótema da pirâmide e sua medida será indicada por g.

Área Total e Volume 

• Caso particular (tetraedro regular)

É toda pirâmide triangular que possui todas as arestas congruentes.

Tronco de Pirâmide

 Quando um plano intercepta todas as arestas de uma pirâmide, paralelamente à base, formam-se outros dois sólidos geométricos: uma nova pirâmide e um tronco de pirâmide.

Faremos o estudo do tronco de pirâmide e seus elementos, área total e volume. O tronco de pirâmide é a parte da figura com arestas destacadas em azul.

Cálculo da área total do tronco de Pirâmide.

Observe que o tronco de pirâmide é composto por duas bases (base maior e base menor) e as faces laterais. Sua área total é dada pela soma das áreas das bases e das faces laterais. Ou seja:

A_T = A_B + A_b+ A_L

Onde

A_T → é a área total.
A_B → é a área da base maior.
A_b → é a área da base menor.
A_L → é a área lateral.

Note que as faces laterais de qualquer tronco de pirâmide são formadas por trapézios isósceles congruentes.

Cálculo do volume do tronco de Pirâmide.

O volume do tronco de pirâmide é dado em função das áreas das bases e da altura h. A fórmula para o cálculo do volume de um tronco de pirâmide qualquer é a seguinte:

Onde

h → é a altura do tronco de pirâmide.
A_B → é a área da base maior.
A_b → é a área da base menor.

Vejamos alguns exemplos para melhor compreensão.

Exemplo 1. Uma pirâmide de base quadrangular é seccionada por um plano paralelo à sua base, a uma altura de 6 cm, produzindo um tronco. Sabendo que a base maior é um quadrado de lado com medida de 8 cm e que a base menor do tronco formado é um quadrado de lado com medida de 3 cm, calcule seu volume.

Solução: Para calcular o volume do tronco de pirâmide é necessário calcular, antes, as áreas das bases maior e menor. Como as bases são quadrados, temos que:

A_B = L² = 8² = 64
A_b = l²=3² = 9

Também sabemos que a altura do tronco é 6 cm, pois é a altura em que o plano intercepta todas as arestas da pirâmide.
Assim, o volume do tronco da pirâmide será:

Exemplo 2. Um frasco de perfume apresenta o formato de um tronco de pirâmide de base quadrada. Se a altura do frasco é de 5 cm, o lado da base menor mede 2 cm e o da base maior 6 cm, calcule a capacidade desse frasco.

Solução: Sabemos que o frasco tem o formato de um tronco de pirâmide de base quadrada de altura 5 cm. Vamos calcular a área das bases desse tronco para determinar o valor do volume.

A_B= L² = 6² = 36
A_b= l² = 2² = 4

Assim, o volume será dado por: